混淆的量子力学术语
从本科开始，陆陆续续接触量子力学也已经有4年时间了。对描述一个量子态时所使用的有些概念，却依然还是混淆不清。我希望写作这篇博客能帮我厘清思路。
几对让我混淆的量子态描述
- 量子态和波函数 （Quantum State & Wavefunction）
- 纯态与混态 （Pure state & Mix state）
- 纠缠态与可分离态（Entangled state & Separable state）
- 线性叠加态 （Superposition state）
量子态和波函数
量子态是希尔伯特空间1中的一个向量，它是一个更通用，更普适的概念，通常用$\ket{\psi}$来表示。也就是说： $$\ket{\psi} \in\mathcal{H} $$
而波函数，通常用$\psi$来表示，它是一个量子态$\ket{\psi}$在某个具体的基底上的投影，是一种数学表示。最常见的波函数$\psi(x)$是量子态在位置基底上的投影，它的平方等于粒子出现在$x$处的概率。用公式表达为，
$$ \psi(x) = \braket{x|\psi} \;\;\;\;\;\; P(x) = |{\psi(x)}|^2 $$
基底根据实际需要选取。在研究自由粒子和散射时，动量基底被广泛使用。而在研究如同量子谐振子系统时，我们时常使用能量基底，用 $\psi(E)$ 或 $\psi_n$ 表示。
我们可以使用欧几里得空间来不恰当的类比他们的关系，存在一个生存在三维欧几里得空间中的向量 $\vec{r}$ ，它有方向，有长度。但如果要进行实际计算，不得不选择一组基底将其表示出来。它在笛卡尔坐标系下可以被表示为： $$ \vec{r} = 2 \vec{i} + 3\vec{j}+1\vec{k}$$ 在这里 ${\vec{i},\vec{j},\vec{k}}$ 就是一组基底，对应的 $$ r(x) = \vec{i} \cdot \vec{r} \;\;\;\;\;\; r(y) = \vec{j} \cdot \vec{r} \;\;\;\;\;\; r(z) = \vec{k} \cdot \vec{r}$$
纯态和混合态
纯态和混合态是对一个量子系统的整体状态的描述。当我们说一个系统处在纯态当中时，我们指，这个系统处在一个确定的量子态中，换句话说，存在一个 $\ket{\psi}$，其完全包含了这个系统的所有信息。
假设一个量子系统，在0K时，唯一可能态是其能量基态，那此时系统便处在一个确定的量子态中，也就是能量基态 $\ket{gs}$ ，它包含了系统的全部信息。且存在密度算符 $\hat{\rho} = \ket{gs}\bra{gs}$，同样包含了系统的全部信息。
但是，如果此时我们上升到有限温度，且达到热平衡之后。除了基态之外，系统还可能处在一系列的激发态中，他们的概率依照玻尔兹曼分布2决定。此时，系统处在一些列的量子态的概率混合当中，无法确定任何一个量子态，足以完全包含系统的信息。则系统必须要用一个密度算符,
$$\hat{\rho} = \sum_iP_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}$$
才能完整的描述。值得注意的是，线性叠加态并不是混态，比如在双自旋粒子的海森堡系统当中，若 $J>0$，则单态是其基态。 $$\ket{0,0} = \frac{1}{\sqrt{2}}(\ket{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}) $$
然而，虽然系统处在哪一种自旋配置当中不确定，但它并非一个混态，而是一个单态。因为系统唯一的处于 $\ket{0,0}$ 单态当中。其实，线性叠加态正是纯态的一个典型形式。
那我们知道了，处于纯态中的系统可以用一个态矢或是密度算符来描述。而处于混态中的系统必须要使用密度算符来描述。假设获得一个密度算符，如何确定它是纯态还是混态呢？举个例子，以下两个密度算符，纯态和混态各有其一，分别是哪一个呢？
$$\hat{\rho_1} = \frac{1}{2}(\ket{\uparrow\downarrow}\bra{\uparrow\downarrow}-\ket{\downarrow\uparrow}\bra{\uparrow\downarrow}-\ket{\uparrow\downarrow}\bra{\downarrow\uparrow}+\ket{\downarrow\uparrow}\bra{\downarrow\uparrow}) $$
$$\hat{\rho_2} = \frac{1}{2}(\ket{\uparrow}\bra{\downarrow}+\ket{\downarrow}\bra{\uparrow}) $$
答案是，除非你有传奇般的数学直觉，没有方法可以看出，只能通过计算得出。检查的方法是用算符作用于其自身，若返回本身，则为纯态，反之则为混态。
$$ \hat{\rho}^2 = \hat{\rho} \;\; (pure \;state)$$
$$ \hat{\rho}^2 \neq \hat{\rho} \;\; (mix \;state)$$
根据计算，能够得出，$\hat{\rho_1}$ 为纯态，它也就是前文中单态的密度算符，而 $\hat{\rho_2}$ 是一个混态。
纠缠态和可分离态
To be cont.
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